Matematikai alapismeretek

Felkészülési segédlet a felmérőhöz – a mintateszt mind a 15 feladattípusa, megoldási recepttel

A felmérő 15 feladatból áll, összesen 50 pont. Minden feladat egy külön témakört mér, és a szerkezetük az éles vizsgán is ugyanez marad – csak a számok változnak. Ezért nem az eredményeket érdemes megjegyezni, hanem a recepteket.

Ebben a segédletben minden feladathoz megtalálható a mintateszt eredeti képe, az elmélet, amit tudni kell hozzá, a levezetés lépésről lépésre, és a tipikus hibák. A képeken már ki vannak töltve a mezők – ezeket figyelmen kívül lehet hagyni, a levezetés minden esetben nulláról indul.

A feladatok áttekintése

#	Témakör	Pont
1	Mértékegység-váltás	1
2	Százalékszámítás	1
3	Képlet kifejezése (kör)	2
4	Halmazok, halmazműveletek	3
5	Középponti szög és ívhossz	2
6	Egyenes meredeksége	2
7	Polinom kifejtése, helyettesítési érték	3
8	Zérushelyek	2
9	Logaritmus és trigonometrikus azonosság	3
10	Derékszögű háromszög	3
11	Vektorok, kör egyenlete	7
12	Gyöktényezős alak, törtes egyenlet	5
13	Trigonometrikus egyenlet	5
14	Exponenciális függvény	6
15	Kombinatorika (leszámlálás)	5

A 11–15. feladat együtt 28 pont, vagyis a teszt több mint fele. Ha kevés az idő, ezekkel érdemes kezdeni.

Beírási tudnivalók

A pontok jelentős része nem a matematikán, hanem a beírás formáján múlik:

• Műveleti jelek: + - * /, gyök: sqrt(...), a kör számára: pi.
• Több feladatnál tilos a hatványjel – a négyzetre emelést szorzással kell kiírni: k*k, nem k^2.
• Zárójelezni kell minden törtnél: k/(2*pi) és nem k/2*pi.
• Ha „tizedestört-alakban” kér eredményt, ne normálalakot írjunk: 0.000005, nem 5*10^-6.
• Ha „két tizedesjegyre kerekítve” kér, pontosan két tizedesjegy kell. Tizedesvessző és tizedespont is elfogadott.
• Halmazoknál a kapcsos zárójel külön mezőbe kerül, és kötelező kitölteni.
• Ahol több érték kerül egy mezőbe, ott vesszővel elválasztva, a feladat által kért sorrendben.

Számológép nélkül – az alapkészlet

A teszten nincs számológép, ezért a számok mindig úgy vannak megválasztva, hogy kerek eredmény jöjjön ki. Ha nem kerek jön ki, az önmagában hibajelzés.

	0°	30°	45°	60°	90°
sin	0	1/2	√2/2	√3/2	1
cos	1	√3/2	√2/2	1/2	0
tg	0	√3/3	1	√3	–

Radiánban: 30° = π/6, 45° = π/4, 60° = π/3, 90° = π/2, 180° = π. Átváltás fokból radiánba: szorzás π/180-nal.

• Pitagoraszi számhármasok: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25 és többszöröseik (6-8-10, 15-36-39, 30-40-50). Felismerésük megspórolja a gyökvonást.
• Négyzetszámok 25-ig: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625.
• Hatványok: 2-é: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024. 3-é: 3, 9, 27, 81, 243. 4-é: 4, 16, 64, 256. 5-é: 5, 25, 125, 625.
• Gyökvonás: bontsuk négyzetszám szorzatára. √1521 = √(9·169) = 3·13 = 39. √72 = √(36·2) = 6√2.
• Tört tizedesre írásbeli osztással: 1/9 → 10:9 = 1, marad 1 → 0,1; 10:9 = 1 → 0,11.
• Közelítő értékek: √2 ≈ 1,41 · √3 ≈ 1,73 · √5 ≈ 2,24 · π ≈ 3,14.
• Százalék fejben: 10% = osztás 10-zel, 1% = osztás 100-zal, 50% = felezés. Például 51% = 50% + 1%.

1 pont1. Mértékegység-váltás

Amit tudni kell

A hosszúságegységek között a váltószám 10 vagy 1000:

1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm, 1 km = 1000 m

Területnél ugyanezt a váltószámot négyzetre kell emelni, térfogatnál köbre. Ez a feladat teljes lényege:

Váltás	Hosszúság	Terület	Térfogat
m → dm	·10	·100	·1000
m → cm	·100	·10 000	·106
m → mm	·1000	·106	·109
km → m	·1000	·106	·109

Érdemes tudni még: 1 dm³ = 1 liter, 1 ha = 10 000 m², 1 km² = 100 ha.

A mintapélda

5,32 · 10⁰ mm² = ? m²

10⁰ = 1, tehát a mennyiség 5,32 mm².

1 m² = 1 000 000 mm², tehát osztani kell 10⁶-nal: a tizedesvessző 6 hellyel balra tolódik.

5,32 mm² = 0,00000532 m²

A záró nullák nem számítanak, a 0,000005320 alak is helyes.

1 pont2. Százalékszámítás

Amit tudni kell

• rész = alap · p/100
• „p%-át már elvégezték, mennyi maradt” → alap · (100 − p)/100
• „p%-kal nőtt” → alap · (1 + p/100); „p%-kal csökkent” → alap · (1 − p/100)
• Ha a rész és az alap ismert, a százalékérték: (rész / alap) · 100

A mintapélda

A pálya 9000 m², ebből 51% már kész. A hátralévő rész: 100% − 51% = 49%.

9000 · 0,49 = ? Fejben: 9000 · 0,50 = 4500, ebből vonjuk le az 1%-ot, azaz 90-et.

4500 − 90 = 4410

A válaszmezőbe csak a szám kerül, mértékegység nélkül.

2 pont3. Képlet kifejezése

Amit tudni kell

A kör négy mennyisége és a köztük lévő összefüggések:

d = 2r, k = 2rπ = dπ, t = r²π

Bármelyik ismeretében a többi kifejezhető:

Ismert	r	d	k	t
r	—	2r	2rπ	r2π
d	d/2	—	dπ	d2π/4
k	k/(2π)	k/π	—	k2/(4π)
t	√(t/π)	2√(t/π)	2√(tπ)	—

A mintapélda

Ismert a kerület, k.

Átmérő: k = dπ, ebből d = k/π. Beírás: k/pi

Terület: előbb r = k/(2π), majd t = r²π = (k/(2π))² · π = k²/(4π).

Hatványjel nélkül: (k/2/pi)*(k/2/pi)*pi, vagy egyszerűbben k*k/(4*pi).

Ha más mennyiség az ismert

• Ismert a terület: sqrt(t/pi) a sugár, 2*sqrt(t*pi) a kerület.
• Ismert az átmérő: d/2 a sugár, d*pi a kerület, d*d*pi/4 a terület.

3 pont4. Halmazok

Amit tudni kell

Osztók felsorolása

Haladjunk osztópárokban 1-től felfelé, amíg a pár „össze nem ér”. A 36 esetében: 1·36, 2·18, 3·12, 4·9, 6·6. Az osztók tehát: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Ebből az egyjegyűek: 1, 2, 3, 4, 6, 9.

Négyzetes egyenlőtlenség

(x − a)² ≤ b² alakú egyenlőtlenség megoldása abszolút értékkel:

|x − a| ≤ |b|, azaz a − |b| ≤ x ≤ a + |b|

Szigorú egyenlőtlenségnél (<) a végpontok nem tartoznak bele; ha egész megoldásokat kérnek, csak a tartományba eső egészeket soroljuk fel.

Halmazműveletek

• A ∪ B (unió): minden elem, ami legalább az egyikben benne van.
• A ∩ B (metszet): ami mindkettőben benne van.
• A \ B (különbség): ami A-ban benne van, de B-ben nincs. Nem szimmetrikus!

A mintapélda

U = 36 egyjegyű pozitív osztói = {1, 2, 3, 4, 6, 9}

V = az (x − 7)² ≤ (−2)² egyenlőtlenség egész megoldásai.

(−2)² = 4, tehát |x − 7| ≤ 2, azaz 5 ≤ x ≤ 9.

V = {5, 6, 7, 8, 9}

V \ U: a V elemeiből elhagyjuk azokat, amelyek U-ban is szerepelnek. A 6 és a 9 ilyen, ezért marad: {5, 7, 8}

2 pont5. Középponti szög és ívhossz

Amit tudni kell

Az ív hossza a kerületnek ugyanakkora hányada, mint amekkora a középponti szög a teljes 360°-nak:

i / (2rπ) = α° / 360°

Ebből átrendezve:

α° = 360 · i / (2rπ) = 180 · i / (rπ)

Radiánban egyszerűbb: i = r · α, tehát α = i / r (radiánban), és a fokra váltás szorzás 180/π-vel.

Kapcsolódó képletek, amelyek szintén előfordulhatnak:

• ívhossz adott szögből: i = 2rπ · α°/360
• körcikk területe: T = r²π · α°/360

A mintapélda

r = 15, az ív hossza 5π.

α = i / r = 5π / 15 = π/3 radián.

Fokra váltva: (π/3) · (180/π) = 180/3 = 60°

2 pont6. Egyenes meredeksége

Amit tudni kell

• Az egyenes iránytényezős alakja: y = mx + b, ahol m a meredekség.
• Általános alakból gyorsan: Ax + By = C esetén m = −A/B.
• Két pontból: m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁).
• Párhuzamos egyenesek meredeksége megegyezik.
• Merőleges egyenesekre m₂ = −1/m₁.

A mintapélda

1x − 9y = 7

−9y = −x + 7

y = (1/9)x − 7/9, tehát m = 1/9.

1/9 = 0,111… , két tizedesjegyre kerekítve: 0,11

3 pont7. Polinom kifejtése

Amit tudni kell

A kulcs a két nevezetes azonosság:

(a − b)(a + b) = a² − b²

(a ± b)² = a² ± 2ab + b²

Gyökök négyzete: (√5)² = 5, és (−√3)⁴ = ((−√3)²)² = 3² = 9. Páros kitevőn a gyök és az előjel is eltűnik.

A mintapélda

f(x) = (x − √5)(x² + 5)(x + √5)

Konjugált pár: (x − √5)(x + √5) = x² − 5

A maradék: (x² − 5)(x² + 5) = (x²)² − 5² = x⁴ − 25

Az együtthatók tehát: 1·x⁴ + 0·x³ + 0·x² + 0·x + (−25)

Helyettesítés: f(−√3) = (−√3)⁴ − 25 = 9 − 25 = −16

Ha a behelyettesítendő érték éppen −√5 vagy √5 volna, az eredmény 0 lenne, mert ezek gyöktényezők.

2 pont8. Zérushelyek

Amit tudni kell

A zérushely az a hely, ahol a függvény értéke 0. Harmadfokú, hiányos polinomnál a menet:

1. Emeljük ki a legnagyobb közös tényezőt (gyakran x-et).
2. A zárójelben maradt kifejezést bontsuk tovább: a² − b² = (a − b)(a + b), vagy másodfokú megoldóképlettel.
3. Szorzat akkor és csak akkor 0, ha valamelyik tényezője 0.

Másodfokú megoldóképlet: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). Ha a diszkrimináns negatív, nincs valós gyök.

A mintapélda

f(x) = 9x³ − 4x = x(9x² − 4) = x(3x − 2)(3x + 2)

A tényezők külön-külön: x = 0; 3x − 2 = 0 → x = 2/3; 3x + 2 = 0 → x = −2/3.

Csökkenő sorrendben, ahogy a feladat kéri: 2/3, 0, −2/3, a negyedik mezőbe pedig n.

3 pont9. Kifejezés pontos értéke

Amit tudni kell

Logaritmus

log_a b = c ⟺ a^c = b

Kérdezzük meg magunktól: „az alapot hányadik hatványra emelve kapom a számot?” 1-nél kisebb alapnál a válasz negatív, ha a szám 1-nél nagyobb. Például (1/4)⁻³ = 4³ = 64, tehát log_1/4 64 = −3.

További azonosságok: log_a1 = 0, log_aa = 1, log(xy) = log x + log y, log(x/y) = log x − log y, log(xⁿ) = n·log x.

Trigonometria

sin²α + cos²α = 1

Ez bármely szögre igaz, tehát 21°-ra is – nem kell tudni sin 21° értékét.

Négyzetgyök

√(a²) = |a|, tehát az eredmény mindig nemnegatív.

A mintapélda

K = log_1/464 + sin²21° + cos²21° + √((−7)²)

log_1/464: (1/4)⁻³ = 4³ = 64, tehát az érték −3.

sin²21° + cos²21° = 1.

√((−7)²) = √49 = 7.

K = −3 + 1 + 7 = 5

3 pont10. Derékszögű háromszög

Amit tudni kell

• A derékszöggel szemközti oldal az átfogó (ez a leghosszabb), a másik kettő a befogó.
• Egy oldalt két végpontja nevez meg: a QR a Q és R csúcsot összekötő szakasz. Az R-rel szemközti oldal a PQ.
• Pitagorasz-tétel: befogó² + befogó² = átfogó².
• Szögfüggvények egy hegyesszögre:
  • sin = szemközti befogó / átfogó
  • cos = melletti befogó / átfogó
  • tg = szemközti befogó / melletti befogó
• A két hegyesszög összege 90°.
• Külső szög = 180° − belső szög. Ebből következik: sin(külső) = sin(belső), cos(külső) = −cos(belső).

A mintapélda

Az R csúcsnál van a derékszög, a vele szemközti átfogó a PQ = 76 cm. A QR befogó 38 cm. Az ábrán tehát a 76 cm a P és Q közötti oldalra, a 38 cm a Q és R közötti oldalra kerül.

A P csúcsnál lévő β szöggel szemközt a QR = 38 cm áll, az átfogó 76 cm. Szemközti / átfogó → szinusz:

sin β = 38 / 76 = 1/2, tehát β = 30°

Az R csúcsnál a belső szög 90°, így a külső szög 180° − 90° = 90°, és sin 90° = 1.

Hasznos felismerés: ha az egyik befogó pontosan fele az átfogónak, a vele szemközti szög mindig 30°.

7 pont11. Vektorok és a kör egyenlete

Ez a legtöbbet érő feladat, de öt rövid, egymástól független részből áll.

Amit tudni kell

Fogalom	Képlet
Két pont közötti vektor	PQ = (q1 − p1 ; q2 − p2) — cél mínusz kezdet
Vektor hossza	|v| = √(v12 + v22)
Szakasz felezőpontja	F = ((p1 + q1)/2 ; (p2 + q2)/2)
Kör egyenlete	(x − u)2 + (y − v)2 = r2, ahol C(u ; v) a középpont
Egyenes irányvektora	bármely, az egyenessel párhuzamos vektor, például PQ
Párhuzamosság	v1·w2 − v2·w1 = 0
Merőlegesség	v1·w1 + v2·w2 = 0 (skaláris szorzat)

Az átmérő fölé írt kör középpontja az átmérő felezőpontja, sugara az átmérő fele.

A mintapélda

Adott P(7 ; −5), Q(−1 ; 1) és a v(k ; −3) vektor.

(a) A PQ átmérőjű kör sugara és középpontja

PQ = (−1 − 7 ; 1 − (−5)) = (−8 ; 6)

|PQ| = √(64 + 36) = √100 = 10, ez az átmérő.

Sugár: r = 5

Középpont a felezőpont: C((7 + (−1))/2 ; (−5 + 1)/2) = C(3 ; −2)

(b) A kör egyenlete

(x − 3)² + (y + 2)² = 25

Nullára redukálva: (x − 3)² + (y + 2)² − 25 = 0

Hatványjel nélkül beírva: (x-3)*(x-3)+(y+2)*(y+2)-25

Kibontva ugyanez: x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0. Ellenőrzés P-vel: 49 + 25 − 42 − 20 − 12 = 0. ✓

(c) Az irányvektor koordinátáinak hányadosa

Az egyenes egy irányvektora maga a PQ = (−8 ; 6), tehát u_x/u_y = −8/6 (egyszerűsítve −4/3).

Azért a hányadost kérik, mert az irányvektor bármely számszorosa jó megoldás – a hányados viszont mindegyiknél ugyanaz.

(d) k, hogy v párhuzamos legyen az egyenessel

k · 6 − (−3) · (−8) = 0 → 6k − 24 = 0 → k = 4

(e) k, hogy v merőleges legyen az egyenesre

(−8) · k + 6 · (−3) = 0 → −8k = 18 → k = −9/4 = −2,25

5 pont12. Gyöktényezős alak és törtes egyenlet

Amit tudni kell

• Megoldóképlet: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)
• Viète-formulák (gyors gyökkereséshez): x₁ + x₂ = −b/a és x₁ · x₂ = c/a. Ha a főegyüttható 1, elég két olyan számot keresni, amelyek szorzata a konstans, összege pedig a középső együttható.
• Gyöktényezős alak: ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂). Figyeljünk a mínuszra: az x₁ = −4 gyökhöz az (x + 4) tényező tartozik.
• Értelmezési tartomány: törtnél a nevező nem lehet 0. Ezt a legelső lépésként érdemes felírni.

A mintapélda

E = x² + x − 12

a. A gyökök

Két szám, amelyek szorzata −12 és összege +1: a 4 és a −3. Tehát a gyökök −4 és 3.

Megoldóképlettel ellenőrizve: x = (−1 ± √(1 + 48))/2 = (−1 ± 7)/2.

Emelkedő sorrendben: x₁ = −4, x₂ = 3

b. Szorzattá bontás

E = 1 · (x + 4) · (x − 3)

c. Az egyenlet

(x² + x − 12) / (x − 3) = x² + 3x − 11

Feltétel: x ≠ 3.

Egyszerűsítés: (x + 4)(x − 3) / (x − 3) = x + 4

Nullára redukálva: x + 4 = x² + 3x − 11 → 0 = x² + 2x + (−15)

Ennek gyökei: két szám, amelyek szorzata −15 és összege 2 → −5 és 3

A 3 nem megengedett, mert a nevezőt nullává tenné. Az eredeti egyenlet megoldása: x = −5

5 pont13. Trigonometrikus egyenlet

Amit tudni kell

Szorzat akkor és csak akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla. A két tényezőt tehát külön-külön vizsgáljuk.

Az alapegyenletek megoldásai (k tetszőleges egész szám):

Egyenlet	Megoldás
sin u = 0	u = k·π
cos u = 0	u = π/2 + k·π
tg u = 0	u = k·π
sin u = 1	u = π/2 + 2k·π
cos u = 1	u = 2k·π

Az egész számok halmazának jele Z (N a természetes, Q a racionális, R a valós számoké).

A mintapélda

((7 − 2x) / (−5)) · cos(2x − π/6) = 0

Első tényező

(7 − 2x)/(−5) = 0 ⟺ 7 − 2x = 0 ⟺ x = 7/2

Második tényező

cos(2x − π/6) = 0 ⟺ 2x − π/6 = π/2 + k·π, ahol k ∈ Z

Rendezés: 2x = π/2 + π/6 + kπ

Közös nevezőre hozva: π/2 + π/6 = 3π/6 + π/6 = 4π/6 = 2π/3

2x = 2π/3 + kπ, majd kettővel osztva:

x = π/3 + k·π/2, ahol k ∈ Z

6 pont14. Exponenciális függvény

Amit tudni kell

Az f(x) = c + a^{x − p} alakú függvényről (ahol a > 1):

• Értelmezési tartomány: az egész valós számhalmaz. Az exponenciális kifejezésbe bármit be lehet helyettesíteni. Korlátozást csak a nevező (nem lehet 0), a páros gyök alatti kifejezés (nemnegatív) és a logaritmus argumentuma (pozitív) okoz – itt egyik sincs.
• Értékkészlet: a^{x − p} mindig pozitív, ezért f(x) > c. A y = c egyenes vízszintes aszimptota.
• Monotonitás: a > 1 és pozitív x esetén szigorúan növekvő. Ha a kitevőben −x szerepel, a grafikon tükröződik és csökkenő lesz.
• Egyenlőtlenség megoldása: mivel a függvény szigorúan monoton, a kitevőkre át lehet térni: a^u ≤ a^v ⟺ u ≤ v (ha a > 1). 0 < a < 1 esetén a reláció megfordul.

A mintapélda

f(x) = 1 + 3^{x − 4}

a. Értelmezési tartomány

Nincs nevező, gyök vagy logaritmus, tehát minden valós szám behelyettesíthető:

D_f = ]−∞, ∞[

A ℝ\{4} válasz csapda: a 4 a kitevőben szerepel, ami semmit nem korlátoz. Az a nevezőnél volna kizárva.

b. A grafikon

Növekvő, nincs függőleges aszimptotája, és y = 1-hez simul balról. Az x = 4 helyen az érték 1 + 3⁰ = 2, az x = 5 helyen 1 + 3 = 4.

Ez a B jelű kép.

c. A 0 < f(x) ≤ 4 egyenlőtlenség

A bal oldali feltétel automatikusan teljesül: f(x) mindig nagyobb 1-nél, tehát pozitív.

1 + 3^{x − 4} ≤ 4 → 3^{x − 4} ≤ 3 → 3^{x − 4} ≤ 3¹

Az alap 1-nél nagyobb, tehát a kitevőkre áttérhetünk: x − 4 ≤ 1

x ≤ 5

5 pont15. Kombinatorika

Amit tudni kell

A számjegyes leszámlálás eszköze a dobozos módszer: rajzoljunk annyi dobozt, ahány számjegyű a szám, írjuk mindegyikbe, hány lehetőség van azon a helyen, és szorozzuk össze őket.

Feltétel a szövegben	Mit jelent
ötjegyű szám	az első számjegy nem lehet 0
minden számjegye páros	minden helyen {0, 2, 4, 6, 8} → 5 lehetőség
minden számjegye páratlan	minden helyen {1, 3, 5, 7, 9} → 5 lehetőség
nem osztható 5-tel	az utolsó számjegy nem 0 és nem 5
páros szám	az utolsó számjegy páros
40 000-nél kisebb ötjegyű	az első számjegy 1, 2 vagy 3

A mintapélda

Hány olyan 40 000-nél kisebb ötjegyű pozitív egész szám van, amely nem osztható öttel, és minden számjegye páros?

1. számjegy: páros, nem 0 (különben nem ötjegyű), és 4-nél kisebb (különben a szám elérné a 40 000-et). Marad egyetlen lehetőség, a 2. → 1

2., 3., 4. számjegy: bármely páros számjegy → 5 · 5 · 5

5. számjegy: páros, de nem 0, különben osztható lenne öttel. Marad {2, 4, 6, 8} → 4

1 · 5 · 5 · 5 · 4 = 500

A feladat a szorzatot a számjegyek sorrendjében kéri, tehát az első tényező tartozik az első számjegyhez.

---

Gyakorlófeladatok

Ugyanezek a típusok, más számokkal. A megoldások a lista után következnek.

1. Végezze el az átváltást: 7,4 · 10² cm² = ? m²
2. Egy 12 000 m²-es területet füvesítenek, 37%-a már kész. Hány m² van hátra?
3. Ismert egy kör területe, t. Fejezze ki a sugarát és a kerületét (hatványjel nélkül).
4. U = 24 egyjegyű pozitív osztói, V = az (x − 5)² ≤ (−3)² egyenlőtlenség egész megoldásai. Adja meg U-t, V-t és V \ U-t.
5. Mekkora a középponti szög fokban, ha a 20 egység sugarú körben az ív hossza 5π?
6. Mennyi az f egyenes meredeksége, ha párhuzamos a 2x − 5y = 3 egyenletű egyenessel? (Két tizedesjegyre.)
7. Bontsa fel: f(x) = (x − √7)(x² + 2)(x + √7), és számítsa ki f(−√2) értékét.
8. Adja meg a 4x³ − 25x függvény zérushelyeit csökkenő sorrendben.
9. Mennyi log_1/381 + sin²40° + cos²40° + √((−5)²) pontos értéke?
10. Egy derékszögű háromszög átfogója 50 cm, egyik befogója 25 cm. Mekkora a befogóval szemközti szög, és mennyi a derékszögnél lévő külső szög szinusza?
11. P(2 ; −3), Q(−4 ; 5), v(k ; 4). Adja meg a PQ átmérőjű kör sugarát, középpontját és egyenletét, az irányvektor koordinátáinak hányadosát, valamint k értékét párhuzamosság és merőlegesség esetén.
12. E = x² − 2x − 15. Adja meg a gyökeit emelkedő sorrendben, a szorzatalakját, majd oldja meg az (x² − 2x − 15)/(x − 5) = x² − 2x − 7 egyenletet.
13. Oldja meg: ((3 − 4x)/2) · sin(3x + π/4) = 0.
14. f(x) = 2 + 2^{x − 3}. Mi az értelmezési tartománya, hol van a vízszintes aszimptotája, és mi a 2 < f(x) ≤ 6 egyenlőtlenség megoldása?
15. Hány olyan 30 000-nél kisebb ötjegyű páratlan szám van, amelynek minden számjegye páratlan?

Megoldások

1. 740 cm², és 1 m² = 10 000 cm², tehát 0,074 m².
2. 63% van hátra: 12 000 · 0,63 = 7560.
3. sqrt(t/pi) és 2*sqrt(t*pi).
4. U = {1, 2, 3, 4, 6, 8}; |x − 5| ≤ 3 miatt V = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}; V \ U = {5, 7}.
5. 5π/20 = π/4 radián = 45°.
6. m = 2/5 = 0,40.
7. (x² − 7)(x² + 2) = x⁴ − 5x² − 14, együtthatók: 1; 0; −5; 0; −14. f(−√2) = 4 − 10 − 14 = −20.
8. x(2x − 5)(2x + 5) → 5/2; 0; −5/2; majd n.
9. −4 + 1 + 5 = 2.
10. sin α = 25/50 = 1/2 → 30°; a külső szög szinusza 1.
11. PQ = (−6 ; 8), |PQ| = 10, r = 5, C(−1 ; 1); egyenlet: (x+1)*(x+1)+(y-1)*(y-1)-25; u_x/u_y = −6/8 = −0,75; párhuzamos: k·8 − 4·(−6) = 0 → k = −3; merőleges: (−6)·k + 8·4 = 0 → k = 16/3.
12. Gyökök: −3 és 5; E = 1 · (x + 3)(x − 5); feltétel x ≠ 5; egyszerűsítve x + 3 = x² − 2x − 7 → 0 = x² − 3x − 10, gyökei 5 és −2, de az 5 kiesik, tehát a megoldás x = −2.
13. Első tényező: x = 3/4. Második: 3x + π/4 = kπ → x = −π/12 + kπ/3, ahol k ∈ Z.
14. Minden valós szám; aszimptota y = 2; 2^{x − 3} ≤ 4 = 2² → x ≤ 5.
15. 1 · 5 · 5 · 5 · 5 = 625.

---

Vizsga előtti ellenőrzőlista

1. Területnél négyzetre, térfogatnál köbre emeljük a váltószámot.
2. Százaléknál mindig nézzük meg, a kész részre vagy a hátralévőre kérdez a feladat.
3. Ahol tiltott a hatványjel, ott a négyzetet szorzással írjuk ki.
4. A halmazkülönbség nem szimmetrikus, és a kapcsos zárójel is pontot ér.
5. Ívhossznál a π kiesik – kerek fokszámnak kell kijönnie.
6. Szögfüggvény választása előtt tisztázzuk, melyik oldal a szemközti.
7. Kiemelünk, nem osztunk x-szel.
8. A négyzetgyök eredménye mindig nemnegatív.
9. Vektornál: cél mínusz kezdet.
10. Párhuzamos → keresztszorzatok különbsége 0; merőleges → skaláris szorzat 0.
11. Törtes egyenletnél az értelmezési tartományt a legelső lépésben írjuk fel.
12. A koszinusz π/2-nél nulla, és osztáskor a k·π tag is osztódik.
13. Az exponenciális függvény értelmezési tartománya minden valós szám.
14. Leszámlálásnál az első és az utolsó számjeggyel kezdjünk.
15. A megadott sorrend (emelkedő, csökkenő, balról jobbra) mindenhol pontot ér.